コールプットパリティ(プットコールパリティ)の意味、計算式をできるだけ丁寧に解説する。

 

コールプットパリティ(プットコールパリティ)の意味、計算式をできるだけ丁寧に解説する。

こんにちは、orcaです。この記事では金融工学、数理ファイナンス、デリバティブの基本となるコールプットパリティ(プットコールパリティ)の意味、計算式をできるだけ丁寧に解説しようと思います。自分ではなかなか理解できなかったので備忘録も兼ねています。記事の内容に誤りがあればお知らせください。

1.目指すゴールと方針

 まずは示すべき式を理解します。今回考える式はC_tを時点t(ただし、0≦t≦T)における満期がTであるようなコールオプション(買う権利)の価格、同様に満期がTであるようなP_tを時点tにおけるプットオプション(売る権利)の価格、Kを権利行使価格(プット、コールオプション両方の権利行使価格)、S_tを時点tにおける株価(取引の対象は株でなくてもよいですが今回は株にします)、ρを無リスク利子率とします。なお、このオプションは満期時にのみ権利を行使するか選べるヨーロピアンタイプ・オプションです。

　このとき、

　 C_t-P_t=S_t-  \frac{K}{(1+ρ)^(T-t)}　(←すごくわかりにくいですが右辺第二項の分母(1+ρ)^(T-t)は(1+ρ)の(T-t)乗です。以下同様)が成り立つ。

これをプットコールパリティ(コールプットパリティ)と言います。

　この式は何を意味するのでしょうか。左辺の意味は容易です。これは単に時点tでのコールオプションとプットオプションの価格差です。

　右辺の意味は少し複雑です。第一項S_tは時点tでの株価です。第二項  \frac{K}{(1+ρ)^(T-t)}はオプションの行使価格Kがリスクフリーレートρで割り引かれています。この等式が0≦t≦Tを満たす任意のtで成立することがコールプットパリティ(プットコールパリティ)です。なぜこれらが等号で結ばれるのでしょうか。

　証明の方針としては背理法です。もし、これらが不等号(向きは問わない)で結ばれると何が起きるのでしょうか。詳細は後述しますが、結果として「裁定取引(さや取引)」という全くの無リスク、無資本で利益を無限に得られる取引が可能となります。これらは完全市場における前提条件である無裁定と矛盾しますから、不等号はありえない、すなわち上の式が証明されます。なお、以下では証明を簡略化するため、はじめはリスクフリーレートであるρを0として証明を進めます(ρ≠の場合ももちろん後で示します)。

2.ρ=0のときの証明

C_t-P_t≠S_t- \frac{K}{(1+ρ)^(T-t)}とします。ρ=0より、

C_t-P_t≠S_t-K 　です。

すなわち、C_t-P_t>S_t-K (1)　または

 C_t-P_t<S_t-K (2)　です。

時点Tを考えます。S_T>[K]とS_T≦[K]の２つの場合で考えます

(ⅰ).S_T>Kのとき

　行使価格Kより株価S_Tが高いのでプットオプション(売る権利)の価格P_T=0です(わざわざ市場価格(S_T)より安い価格(K)で株を売るなんて人はいないですよね。したがってプットオプションの価格は0です)。つまり(1)式は、

C_T>S_T-K 　と書き直せます。

　このとき、裁定取引が可能となります。具体的にはコールオプション(買う権利)を価格C_Tで大量に書いて売ります。つまり、行使価格Kで株を売る義務を負います。現在株価はS_T(>K)(仮定より)ですから、このオプションを買った人は必ず権利を行使します。オプションを売った人はそれに対して、なんと市場価格S_Tで買った株をKで売却しなければなりません(S_T>Kなのでこの取引だけ見れば損しかしていません!)。しかし全く問題ありません、オプションを売った人は先にC_Tを手に入れているからです。

　少し整理してみます。オプションを売った人の収支は

[収入]:C_T+K　(オプション価格+権利行使者の買値)

[支出]:S_T　(権利者に売るための株の調達)　です。

 この収支は黒字です。なぜなら仮定より、C_T>S_T-K　すなわち、

[収入]-[支出]=C_T+K-S_T>0だからです。

　このようにしてオプションを売った人は全くの無リスクで利益を上げることができます。これは裁定取引にほかなりませんから、S_T>Kのときは

C_T-P_T>S_T-K　はありえません。

　同様に(2)式もあり得ないことが示せます。不等号が≦でないことに注意してください。もしC_T-P_T<S_T-Kがありえるのなら、その時はコールオプションを大量に購入することで先ほどと同様に裁定取引が可能となります。具体的にはC_T+Kで株を購入し、市場価格[S_T]で売却できるためその差額で利益を上げることができます。不等号の>、<のどちらも裁定取引を可能とするためこれを防ぐためには少なくともS_T>KのときはC_T-P_T=S_T-Kでなければなりません。

(ⅱ).S_T≦Kのとき

　(ⅰ)のときと証明の手順はほとんど変わりません。仮定より

C_T-P_T>S_T-K 　ですが、今度はコールオプションの価格C_Tが0となります(誰も市場価格S_Tよりも高い価格Kで買いたいとは思わないので当然ですね)。したがって(1)式は

-P_T>S_T-K 　と書き直せます。両辺に-1をかけて

P_T>K-S_T　となります。もうお分かりでしょう、今回はプットオプション(売る権利)を大量に書いて売ります(つまり大量の買う義務を負います)。先ほどと同様にプットオプションの購入者はK(>S_T)で権利を必ず行使するため、彼らの株を価格Kで買い取り、それらを価格S_Tで市場に売ります。この時の収支もやはり、

[収入]-[支出]=C_T+S_T-K>0　となり裁定取引が可能となります。したがって(1)式はありえないことになります。

　(2)式が成立しえないことも全く同様に示せます。

したがってρ=0のときは

 C_t-P_t=S_t-  \frac{K}{(1+ρ)^(T-t)}

すなわち、

 C_t-P_t=S_t-K

が成立します。

3.ρ≠0のときの証明

　今まで見てきた証明はリスクフリーレートρ=0のやや簡略化された証明でした。今度はρ>0(一定)のときのコールプットパリティ(プットコールパリティ)についてみていきます。示したい式は

 C_t-P_t=S_t-  \frac{K}{(1+ρ)^(T-t)}です。

左辺:C_t-P_tは明らかに時点tでのコールオプションとプットオプションの価格差です。

右辺:S_t-  \frac{K}{(1+ρ)^(T-t)}
こちらの理解は少し厄介ですが、時点tでの株価と、時点Tで負債額Kとなるような負債の時点tでの負債額の和です(負債は時点tでは無リスク利子率で割り引かれています)。

　(ⅰ)t=Tのとき、

 C_t-P_t=S_t-  \frac{K}{(1+ρ)^(T-t)}

は(1+ρ)^(t-T)=1なのでρ=0のときの証明から明らかに成立します。

 (ⅱ)ある時点t(0≦t<T)において等号が不成立のとき

　例えば C_t-P_t>S_t-  \frac{K}{(1+ρ)^(T-t)}とします。

このとき下のグラフのような状況となります。青線Aが[左辺]: C_t-P_tを表し、赤線Bが[右辺]:S_t-  \frac{K}{(1+ρ)^(T-t)}を表します。また、時点t付近以外では常に C_t-P_t=S_t-  \frac{K}{(1+ρ)^(T-t)}なので青線Aと赤線Bが重なります。

 

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このとき、裁定取引が可能となることを示します。まず時点tで C_t-P_t(青線A)を大量に空売りし、S_t-  \frac{K}{(1+ρ)^(T-t)}(赤線B)を大量に買います( C_t-P_t>S_t-  \frac{K}{(1+ρ)^(T-t)}なので売った量よりも買える量が多いことがポイントです!)。(ⅰ)から時点Tにおいては必ずC_t-P_t=S_t-  \frac{K}{(1+ρ)^(T-t)}ですから持っているS_t-  \frac{K}{(1+ρ)^(T-t)}をすべて売り、空売りしていた C_t-P_tを買い戻します。このとき空売りした量より、買った量のほうが多いので必ずおつりが来ます。これは無資本・無リスクで利益を上げることができる裁定取引にほかなりませんから矛盾です。すこしややこしくなったので数値例で詳しく説明します。初期資産を0とします。上のグラフでは時点tにおいて C_t-P_t(青線A)の価値が6、S_t-  \frac{K}{(1+ρ)^(T-t)}(赤線B)の価値が4なので C_t-P_tを100単位空売りし、現金600(=6×100)が手に入れ、その現金をすべて使って価値が4のS_t-  \frac{K}{(1+ρ)^(T-t)}を150単位買います。時点Tになると所持している価値10のS_t-  \frac{K}{(1+ρ)^(T-t)}を150単位をすべて売り(10×150の現金が手に入ります)、空売りしていた価値10の C_t-P_tを100単位すべて買い戻して(10×100支払います)ポジションを解消します。この時最終的に残る資産は1500－1000=500で500残ります。このようにして初期資産0から資産を生み出す裁定取引が可能となるため、

 C_t-P_t>S_t- \frac{K}{(1+ρ)^(T-t)}　はありえないこととなります。

　不等号が反対向きの時も売買を逆にすることで裁定取引が可能となってしまうため不適です。したがって

0≦t<Tを満たすすべてのtにおいて

　 C_t-P_t=S_t-  \frac{K}{(1+ρ)^(T-t)}

となります。

 

(ⅰ)、(ⅱ)を合わせて0≦t≦Tのとき、

　C_t-P_t=S_t- \frac{K}{(1+ρ)^(T-t)}　が成立します。

これが示したいコールプットパリティ(プットコールパリティ)の式でした。

 

文系大学2年生が統計検定準1級に合格するためにやったこと

 

 はじめに

　初めまして、都内の大学に通う文系大学生のOrcaです。学部は経済学部に進学しようと考えています。2019年6月実施の統計検定準1級に無事合格したので、それに至るまで勉強したこと、得点プランなどを書こうと思います。これから受験する人の役に立てば幸いです。何分初めてのブログ記事なため、お見苦しいところがあるかと思いますがお許しください。

 

 

 

 

忙しい方のための要約

 

　①　過去問を解いて自分がどのレベルにいるか把握

　②　①でできなかった分野を本、問題集で補強する

　③　①、②を合格点に達するまで繰り返す

　（ブログ最後に役に立った問題集、参考書を列挙しています。よろしければご活用ください）

自己紹介

　受験当時は19歳。文系。正規で受けた統計学の教育は大学の教養科目で半年のみ。（その時の成績は「可」、単位もギリギリ取得でした）さすがにちょっと恥ずかしかったので腕試しもかねて準1級を受験することにしました。

 

実力を把握する

　すべての受験に共通する大事な作業だと思います。公式の過去問が出版されているのでそちらを使います。ただし準1級は設けられて日も浅く、何十回分も過去問があるわけではないので、慎重に使いました。自分の仕上がりをチェックする材料がないと苦手分野がわからなくなってしまうので、くれぐれも「解きすぎて、実力の確認ができない！」のような事態にはご注意ください。

　また、幸いなことに統計学は問題集が数多く出版されているのでそれを使って学習した部分の定着を確認するのもいいと思います（問題集についてはブログ最後にまとめてあげてあります）。大事なことは「自分のできる分野、できない分野を常に把握しておくこと」です。理解していない分野を基礎とすることを学習するのは非効率的です。

 　多変量解析の「た」の字も知らなかった私が初めて過去問を解いたときは、おそらく2～3割の得点だったように思います。ですから、全然できなくても気にしないでくださいね。絶対にできるようになりますから！

学習の進め方

　問題集で自分ができない分野がわかったら次にすることは、当たり前ですが、その分野について書かれた本、Webサイトを見ることです。ここで1つ書いておきたいことは「同じことについて書かれた本を何冊も読むこと」の良さについてです。よく、「1冊の本を完璧に理解すべき。何冊も手を出すのはよくない」との意見を耳に（目に）しますが、これは独学で統計学を学ぶ人にとってはあまり参考になりません。例えば、よくバイブル扱いされる『統計学入門』(東京大学出版会)は確かに名著、良書かもしれませんがはっきりいって初学者には難しすぎます。内容をかみ砕いてくれる指導者抜きにこの本を理解するのははっきりいって「無理」です。同じ内容を平易に解説している名もなき本はたくさんあります。

　ですから、今統計学を学んでいる人は、どうか「より分かりやすい本」を探すことをしてほしいです。そして、「より分かりやすい本」を見つけるにはたくさんの本を読むしかないです。他者のレビュー参考にすることもできますが、あくまで他人です。自分の感覚を大事にしてください。ブログの最後にも、参考にした本を挙げてありますが、鵜呑みにしないでくださいね。

 　今読んでいる本の記述を理解できなければ飛ばしてください。そして後でもう一度読んでわからなかったら、別の本を探してください。これを何度も繰り返していけばだんだんわかってきます。わかったら大抵の本には演習がついているので章末問題を解きます。ここで大事なのはできなかった問題にあまりこだわらないことです。誤植かもしれないので先に進みましょう。

　このようにして、私は読み流した本も含めると合計で多分20冊くらいは本を読みました。しかし、重要なのは数冊の「これだ！」と思う本を見つけられるかで、読んだ本の数は些事です。さすがにこれらを全部買うとなると、お財布がえらいことになりますので図書館で大体借りました。

準1級の難易度とその得点プランについて

一度問題を解いたことのある方ならよく知っているかと思いますが、2級よりかなり出題範囲が広く、難しくなっています。　

　しかしながら、準1級の合格点は7割より下であまり高くなく、うまく得点できれば合格はそれほど難しくありません。私見ですが準1級の問題は主に下の4つに分類でき、これら4つの中からどう点を取るかが重要です。（最初の百分率は配点のイメージ）

 

　・タイプ①

　　50％。いわゆる基本問題、計算すると答えが出るタイプ。理想を言えば満点、合格のためにも少なくとも8割は得点したい。難易度のイメージとしては2級とおんなじくらい。ここをとれないとお話になりません、頑張ってください！

 

　・タイプ②

　　25％。標準問題。ここから少し難しい。①と違い計算だけでは解けず頭を使う。それでも半分ぐらいは取りたい。

 

　タイプ③

　　10％。難しい。成績優秀者ぐらいしか得点できない問題です。鉛筆を転がして神に祈りましょう。（記述なら残念）

　

　タイプ④

　　15％。①の次に重要だが、一見意味不明。問題文をよく見ると答えを得るためのやり方が書いてあるパターン。個人的にはここが合否を分けるポイントの1つではないかなと思っています。できるだけ得点したい。

 

　私の作戦は①を9割、②を5割、④を5割得点する計画でした。過去問演習からも大体そのような得点状況でしたし、ほかの方も同様ではないかと思います。

　　

電卓について

　好きなものを使いましょう。私は100均のものでしたが合格しています。

 

試験会場の様子

　中央大学後楽園キャンパスでした。会場にはおっさんしかいませんでした。隣の人が試験中もなにかブツブツつぶやいていてイライラしました。途中退室もできますが1人しかしませんでした（教室の約50人中）。問題用紙はA4サイズですが意外にメモ書きするスペースが小さいです、注意してください。

 

参考にした著作物

上に書いてあるものほど役立ちました。参考までにどうぞ。

[参考書]

　統計解析(新世社)　倉田博史
・星野崇宏　著

　　大学の教科書でした。統計学の入り口としてお世話になりました。

　

　入門 統計学 −検定から多変量解析・実験計画法まで−(オーム社)　栗原伸一　著

　 私の中では多変量解析のバイブルで、非常にわかりやすいです。是非読んでいただきたい一冊。

 

　入門はじめての多変量解析(東京図書)　石村貞夫・石村光資郎　著

　上記の『入門　統計学』ではあいまいにされた多変量解析の理論について詳しく丁寧に解説してあります。線形代数、微分の講義を受けていない私には1つ1つの式変形が追える本書は大変役立ちました。一方で、理系の方には冗長に感じられるかもしれません。特に文系の方にオススメしたいです。

 

　高校数学の美しい物語　マスオ

　Webサイト。高校数学にとらわれない様々な数学の重要事項について解説してあります。このサイトがなければ間違いなく落ちていました。

 

　統計WEB

 Webサイト。「あれ、なんだっけ・・・？」ってなった統計学の用語をすぐに調べられます。便利。

　データ解析のための統計モデリング入門――一般化線形モデル・階層ベイズモデル・MCMC (確率と情報の科学)　(岩波書店)　久保拓弥　著

　「緑本」として親しまれている名著。手薄になりがちなモデリングについて学べます。

　道具としてのベイズ統計　(日本実業出版社)　涌井良幸　著

　おそらくベイズ統計の入門書としてこれよりわかりやすいものはないです。

[問題集]

　日本統計学会公式認定 統計検定 1級・準1級 公式問題集　(実業教育出版)　日本統計学会編

　過去問。絶対に使ってください。本番の時間配分、問題の雰囲気、難易度を感じられる唯一の問題集です。古いものはどこかから借りてください。最新年度の問題は公式サイトで見られます。（ただし、解説はなし、略解のみ）

　スッキリわかる確率統計: ―定理のくわしい証明つき―　(近代科学社)　皆本晃弥　著

　証明を理解できない定理は使いたくない主義なので、大変お世話になりました。このような主義を持たないなら何を使ってもいいと思います。正直なところ似た本はごまんとあります。

 

終わりに

　長々と書いてきましたが、大事なことは「自分は何を理解し、何を理解していないのか」、これをはっきりさせることです。これができれば半分くらいはすでに合格しているといっても過言ではありません。はじめはわからないことだらけでくじけそうになるかもしれませんが、統計学はとてもエキサイティングな学問です！理解すればするほど、その有用性、その緻密さ、先人たちの知恵の偉大さに驚かされるばかりです。

　かくいう私も、統計学の勉強を始めたばかりでその隅をかじって喜んでいる身です。この記事を読んでくださっている皆さん同様、まだまだ精進せねばなりません。

　それでは合格をお祈りしています！